3B SCIENTIFIC PHYSICS 1002956 Manual de usuario

Bedienungsanleitung

3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC

3B SCIENTIFIC® PHYSICSPHYSICS

PHYSICSPHYSICS

PHYSICS

Das Drehpendel dient zur Untersuchung von freien,

erzwungenen und chaotischen Schwingungen bei ver-

schiedenen Dämpfungen.

Versuchsthemen:

•Freie Drehschwingungen bei verschiedenen Dämp-

fungen (Schwingfall mit mäßiger Dämpfung, ape-

riodische Schwingung und aperiodischer Grenzfall)

•Erzwungene Schwingungen und deren Resonanz-

kurven bei verschiedenen Dämpfungen

•Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resona-

tor im Resonanzfall

•Chaotische Drehschwingungen

•Statische Bestimmung der Richtgröße D

•Dynamische Bestimmung des Trägheitsmoments J

1. Sicherheitshinweise

•Das Drehpendel bei der Entnahme aus der Verpa-

ckung nicht am Skalierring anfassen! Beschädi-

Drehpendel nach Prof. Pohl 1002956

06/18 ALF

gungsgefahr! Entnahme immer mit Entnahmehil-

fe (Innenverpackung) vornehmen!

•Zum Tragen des Drehpendels Gerät immer an der

Grundplatte halten.

•Maximal zulässige Versorgungsspannung des

Erregermotors (24 V DC) nicht überschreiten.

•Das Drehpendel keinen unnötigen mechanischen

Belastungen aussetzen.

2. Beschreibung, technische Daten

Das Drehpendel nach Prof. Pohl besteht aus einem auf

einer hölzernen Grundplatte montiertem schwingen-

den System und einem Elektromotor. Das schwingen-

de System ist ein kugelgelagertes Kupferrad (5), das

über eine Spiralfeder (6), die das rücktreibende Mo-

ment liefert, mit dem Erregergestänge verbunden ist.

Zur Anregung des Drehpendels dient ein Gleichstrom-

motor mit grob- und fein einstellbarer Drehzahl, der

über einen Exzenter (14) mit Schubstange (13) die Spi-

1Erregermotor

2Drehknopf zur Feineinstellung der Erregerspannung

3Drehknopf zur Grobeinstellung der Erregerspannung

4Skalenring

5Pendelkörper

6Schneckenfeder

7Zeiger zur Phasenlage des Erregers

8Zeiger zur Phasenlage des Pendelkörpers

9Zeiger für Auslenkung des Pendelkörpers

bl Erreger

bm Wirbelstrombremse

bn Führungsschlitz und Schraube zur Einstellung der Erreger-

amplitude

bo Schubstange

bp Antriebsrad mit Exzenter

bq 4-mm-Sicherheitsbuchsen zum Messen der Erregerspannung

br 4-mm-Sicherheitsbuchsen zur Versorgung des Erregermotors

bs 4-mm-Sicherheitsbuchsen zur Versorgung der Wirbelstrom-

bremse

bpbobnbmbl

bsbrbq

ralfeder

periodischer

Folge

auseinanderzieht

und

zusammendrückt und so das Kupferrad in Schwingung

versetzt. Für die Dämpfung wird eine elektromagneti-

sche

Wirbelstrombremse

(11)

verwendet.

Ein

Skalen-

ring (4) mit Schlitzen und Skala in 2-mm-Teilung um-

gibt das schwingende System; Zeiger befinden sich an

Erreger und Resonator.

Das

Gerät

kann

auch

der

Demonstration

zur

Schattenprojektion verwendet werden.

Eigenfrequenz: ca. 0,5 Hz.

0 bis 1,3 Hz (stufenlos einstellbar)Erregerfrequenz:

Anschlüsse:

Motor: max. 24 V DC, 0,7 A,

über 4-mm-Sicherheitsbuchsen

Wirbelstrombremse:

0 bis 20 V DC, max. 2 A,

über 4-mm- Sicherheitsbuchsen

Skalenring: 300 mm Ø

400 mm x 140 mm x 270 mmAbmessungen:

4 kgMasse:

2.1 Lieferumfang

1 Drehpendel

2 Zusatzmassen 10 g

2 Zusatzmassen 20 g

3. Theoretische Grundlagen

3.1 Verwendete Formelzeichen

WinkelrichtgrößeD =

Massenträgheitsmoment=J

Rücktreibendes Drehmoment=M

Periodendauer=T

T0Periodendauer des ungedämpften Systems=

TdPeriodendauer des gedämpften Systems=



Amplitude des Erreger-Drehmoments=

Dämpfungsmoment=b

Periodenzahl=n

Zeit=t

ΛLogarithmisches Dekrement=

δDämpfungskonstante=

Auslenkwinkel=



Amplitude zur Zeit t = 0 s=



Amplitude nach n Perioden=



Erregeramplitude=



Systemamplitude=

ω0Eigenfrequenz des schwingenden Systems=

ωdEigenfrequenz des gedämpften Systems=

ωEErregerkreisfrequenz=

ωEres Erregerkreisfrequenz für max. Amplitude=

Ψ0S Systemnullphasenwinkel=

3.2 Harmonische Drehschwingung

Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die rück-

treibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Bei

harmonischen Drehschwingungen ist das rück-

treibende Drehmoment proportional zum Auslenk-

winkel ϕ:

M = D ·

Der Proportionalitätsfaktor D (Winkelrichtgröße) lässt

sich durch Messung des Auslenkwinkels und des aus-

lenkenden Moments errechnen.

Die Eigenkreisfrequenz des Systems ω0ergibt sich nach

Messung der Periodendauer T aus

0= 2

und das Massenträgheitsmoment J aus

3.3 Freie gedämpfte Drehschwingung

Bei einem schwingenden System, bei dem durch Rei-

bungsverluste Energie verloren geht, ohne dass diese

durch von außen zugeführte Energie kompensiert wird,

verringert sich die Amplitude ständig, d.h. die Schwin-

gung ist gedämpft.

Dabei ist das Dämpfungsmoment b proportional zur

Winkelgeschwindigkeit

Aus dem Drehmoment-Gleichgewicht ergibt sich die

Bewegungsgleichung

JbD⋅+⋅+⋅=

ϕϕϕ

.. .0

Für die ungedämpfte Schwingung ist b = 0

Beginnt die Schwingung zur Zeit t = 0 s mit der maxi-

malen Amplitude



ergibt sich die Lösung der Diffe-

renzialgleichung bei einer nicht zu starken Dämpfung

(δ² < ω0²) (Schwingfall)



· e–δ·t · cos (

d· t)

δ= b/2 J ist die Dämpfungskonstante und

ωωδ

=−

die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.

Bei einer starken Dämpfung (δ² > ω0²) schwingt das

System nicht, sondern kriecht in die Ruhelage (Kriech-

fall).

Die Periodendauer Tddes gedämpft schwingenden Sys-

tems ändert sich gegenüber T0des ungedämpft schwin-

genden Systems bei nicht zu starker Dämpfung nur

geringfügig.

Durch Einsetzen von t= n· Tdin die Gleichung



· e–δ·t · cos (

d· t)

und für die Amplitude nach n Perioden



erhält

man mit der Beziehung

d= 2

/Td



=⋅

−⋅

und daraus das logarithmische Dekrement Λ:

=⋅ =⋅











=











δϕ

TnInIn

n+1



Durch Einsetzen von

/Td,

0= 2

/T0und

d= 2

/Tdin die Gleichung

ωωδ

=−

erhält man:

=⋅+14

womit sich die Periodendauer Tdgenau berechnen

lässt, wenn T0bekannt ist.

3.4 Erzwungene Drehschwingung

Bei erzwungenen Drehschwingungen wirkt von außen

ein periodisch mit einer Sinusfunktion veränderliches

Drehmoment auf das schwingende System. In der

Bewegungsgleichung ist dieses Erregermoment zu er-

gänzen

JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅

()

ϕϕϕ ω

.. .sin



Nach einer Einschwingzeit schwingt das Drehpendel

in einem stationären Zustand mit derselben Kreisfre-

quenz wie der Erreger, dabei kann ωEnoch gegen ω0

phasenverschoben sein. Ψ0S ist der System-Nullphasen-

winkel, die Phasenverschiebung zwischen dem schwin-

genden System und dem Erreger.



· sin (

E· t–

0S)

Für die Systemamplitude



gilt

ωω δω



−

()

+⋅

Für das Verhältnis von Systemamplitude zu Erreger-

amplitude gilt

ϕω



−





















+







⋅









Bei ungedämpften Schwingungen steigt die Amplitu-

de im Resonanzfall (ωEgleich ω0) theoretisch unend-

lich an und führt zur „Resonanzkatastrophe“.

Bei gedämpften Schwingungen und nicht zu starker

Dämpfung wird die Systemamplitude maximal, wobei

die Erregerkreisfrequenz ωE res kleiner ist als die Eigen-

kreisfrequenz des Systems. Diese Frequenz ergibt sich

aus

ωω δ

Eres 0

=⋅−12

Bei starker Dämpfung gibt es keine Amplituden-

überhöhung.

Für den System-Nullphasenwinkel Ψ0S gilt

=−













arctan 2

δω

ωω

Für ωE= ω0(Resonanz) ist der System-Nullphasen-

winkel Ψ0S = 90°. Dies gilt auch für δ= 0 mit entspre-

chendem Grenzübergang.

Bei gedämpften Schwingungen (δ> 0) und ωE< ω0

ergibt sich 0° ≤Ψ0S ≤90°, für ωE> ω0gilt 90° ≤Ψ0S

≤180°.

Bei ungedämpften Schwingungen (δ= 0) gilt Ψ0S = 0°

bei ωE< ω0und Ψ0S = 180° für ωE> ω0.

4.Bedienung

4.1 Freie gedämpfte Drehschwingung

•Wirbelstrombremse mit dem Ausgang für einstell-

bare Spannung des Drehpendel-Netzgeräts verbin-

den.

•Amperemeter in den Stromkreis schalten.

•Dämpfungskonstante in Abhängigkeit vom Strom

bestimmen.

4.2 Erzwungene Drehschwingung

•Anschlussbuchsen (16) des Erregermotors mit dem

Festspannungsausgang des Drehpendel-Netzgeräts

verbinden.

•Voltmeter mit den Anschlussbuchsen (15) des

Erregermotors verbinden.

•Bestimmung der Schwingungsamplitude in Abhän-

gigkeit der Erregerfrequenz bzw. der Versorgungs-

spannung.

•Bei Bedarf Wirbelstrombremse mit dem Ausgang

für einstellbare Spannung des Drehpendel-Netzge-

räts verbinden.

4.3 Chaotische Schwingungen

•Zur Erzeugung chaotischer Schwingungen stehen 4

Zusatzmassen zur Verfügung, die das lineare Rück-

stellmoment des Drehpendels verändern.

•Dazu Zusatzmasse am Pendelkörper (5) anschrau-

ben.

5. Versuchsbeispiele

5.1 Freie gedämpfte Drehschwingung

•Zur Bestimmung des logarithmischen Dekrements

Λwerden die Amplituden in mehrfachen Durch-

läufen gemessen und gemittelt. Dazu werden in

zwei Messreihen die Ausschläge des Drehpendels

auf der Skala jeweils links und rechts abgelesen.

•Der Startpunkt des Pendelkörpers lag bei 15 bzw.

–15 auf der Skala. Fünf Ausschläge wurden abgele-

sen.

•Aus dem Verhältnis der Amplituden ergibt sich Λ

nach der Formel

=













n+1



–



0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15

1 –14,8 –14,8 –14,8 –14,8 14,8 14,8 14,8 14,8

2 –14,4 –14,6 –14,4 –14,6 14,4 14,4 14,6 14,4

3 –14,2 –14,4 –14,0 –14,2 14,0 14,2 14,2 14,0

4 –13,8 –14,0 –13,6 –14,0 13,8 13,8 14,0 13,8

5 –13,6 –13,8 –13,4 –13,6 13,4 13,4 13,6 13,6

nØ



– Ø



–

0 –15 15

1 –14,8 14,8 0,013 0,013

2 –14,5 14,5 0,02 0,02

3 –14,2 14,1 0,021 0,028

4 –13,8 13,8 0,028 0,022

5 –13,6 13,5 0,015 0,022

•Der gemittelte Wert für Λbeträgt Λ= 0,0202.

•Für die Schwingungsdauer T des Pendels gilt

t = n · T. Dazu die Zeit für 10 Schwingungen mit

einer Stoppuhr messen und T berechnen.

T= 1,9 s

•Aus diesen Werten lässt sich die Dämpfungs-

konstante δmit δ= Λ/ T bestimmen.

= 0,0106 s–1

•Für die Eigenfrequenz ωgilt

ωπδ

=







−

= 3,307 Hz

5.2 Freie gedämpfte Drehschwingung

•Zur Bestimmung der Dämpfungskonstante δin Ab-

hängigkeit vom Strom Ιdurch den Elektromagne-

ten wurde der gleiche Versuch mit zugeschalteter

Wirbelstrombremse bei Ι= 0,2 A, 0,4 A und 0,6 A

durchgeführt.

ΙΙ

Ι= 0,2 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –13,6 –13,8 –13,8 –13,6 –13,7 0,0906

2 –12,6 –12,8 –12,6 –12,4 –12,6 0,13

3 –11,4 –11,8 –11,6 –11,4 –11,5 0,0913

4 –10,4 –10,6 –10,4 –10,4 –10,5 0,0909

5 9,2 –9,6 –9,6 –9,6 –9,5 0,1

•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,1006 ergibt

sich die Dämpfungskonstante: δ= 0,053 s–1

ΙΙ

Ι= 0,4 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –11,8 –11,8 –11,6 –11,6 –11,7 0,248

2 –9,2 –9,0 –9,0 –9,2 –9,1 0,25

3 –7,2 –7,2 –7,0 –7,0 –7,1 0,248

4 –5,8 –5,6 –5,4 –5,2 –5,5 0,25

5 –4,2 –4,2 –4,0 –4,0 –4,1 0,29

•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,257 ergibt sich

die Dämpfungskonstante: δ= 0,135 s–1

ΙΙ

Ι= 0,6 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –9,2 –9,4 –9,2 –9,2 –9,3 0,478

2 –5,4 –5,2 –5,6 –5,8 –5,5 0,525

3 –3,2 –3,2 –3,2 –3,4 –3,3 0,51

4 –1,6 –1,8 –1,8 –1,8 –1,8 0,606

5 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 0,81

•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,5858 ergibt

sich die Dämpfungskonstante: δ= 0,308 s–1

5.3 Erzwungene Drehschwingung

•Zur Bestimmung der Schwingungsamplitude in Ab-

hängigkeit der Erregerfrequenz bzw. der Ver-

sorgungsspannung wird der maximale Ausschlag

des Pendelkörpers abgelesen.

T = 1,9 s

Motorspannung V



3 0,8

4 1,1

5 1,2

6 1,6

7 3,3

7,6 20,0

8 16,8

9 1,6

10 1,1

•Die Eigenkreisfrequenz des Systems ω0ergibt sich

nach Messung der Periodendauer T aus

0= 2 π/T = 3,3069 Hz

•Bei einer Motorspannung von 7,6 V findet die größ-

te Auslenkung statt, d.h. der Resonanzfall tritt ein.

•Dann wurde der gleiche Versuch mit zugeschalteter

Wirbelstrombremse bei Ι= 0,2 A, 0,4 A und 0,6 A

durchgeführt.

ΙΙ

Ι= 0,2 A

Motorspannung V



3 0,9

4 1,1

5 1,2

6 1,7

7 2,9

7,6 15,2

8 4,3

9 1,8

10 1,1

ΙΙ

Ι= 0,4 A

Motorspannung V



3 0,9

4 1,1

5 1,3

6 1,8

7 3,6

7,6 7,4

8 3,6

9 1,6

10 1,0

ΙΙ

Ι= 0,6 A

Motorspannung V



3 0,9

4 1,1

5 1,2

6 1,6

7 2,8

7,6 3,6

8 2,6

9 1,3

10 1,0

•Aus diesen Messungen lassen sich die Resonanz-

kurven grafisch darstellen, indem man die Ampli-

tuden in Abhängigkeit zur Motorspannung aufträgt.

•Aus der Halbwertsbreite des Grafen kann die Reso-

nanzfrequenz grafisch ermittelt werden.

[skt]

012 345678910

I=0,0A

I=0,2A

I=0,4A

I=0,6A

u[v]

Resonanzkurven

3B Scientific GmbH • Rudorffweg 8 • 21031 Hamburg • Deutschland • www.3bscientific.com • Technische Änderungen vorbehalten

Operating instructions

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PHYSICSPHYSICS

PHYSICS

The torsion pendulum may be used to investigate free,

forced and chaotic oscillations with various degrees of

damping.

Experiment topics:

•Free rotary oscillations at various degrees of damp-

ing (oscillations with light damping, aperiodic os-

cillation and aperiodic limit)

•Forced rotary oscillations and their resonance

curves at various degrees of damping

•Phase displacement between the exciter and reso-

nator during resonance

•Chaotic rotary oscillations

•Static determination of the direction variable D

•Dynamic determination of the moment of inertia J

1. Safety instructions

•When removing the torsional pendulum from the

packaging do not touch the scale ring. This could

Torsion Pendulum According to Prof. Pohl 1002956

06/18 ALF

lead to damage. Always remove using the handles

provided in the internal packaging.

•When carrying the torsional pendulum always hold

it by the base plate.

•Never exceed the maximum permissible supply

voltage for the exciter motor (24 V DC).

•Do not subject the torsional pendulum to any un-

necessary mechanical stress.

2. Description, technical data

The Professor Pohl torsional pendulum consists of a

wooden base plate with an oscillating system and an

electric motor mounted on top. The oscillating system

is a ball-bearing mounted copper wheel (5), which is

connected to the exciter rod via a coil spring (6) that

provides the restoring torque. A DC motor with coarse

and fine speed adjustment is used to excite the tor-

sional pendulum. Excitement is brought about via an

eccentric wheel (14) with connecting rod (13) which

1Exciter motor

2Control knob for fine adjustment of the exciter voltage

3Control knob for coarse adjustment of the exciter voltage

4Scale ring

5Pendulum body

6Coil spring

7Pointer for the exciter phase angle

8Pointer for the pendulum’s phase angle

9Pointer for the pendulum’s deflection

bl Exciter

bm Eddy current brake

bn Guide slot and screw to set the exciter amplitude

bo Connecting rod

bp Eccentric drive wheel

bq 4-mm safety socket for exciter voltage measurement

br 4-mm safety sockets for the exciter motor power supply

bs 4-mm safety sockets for the eddy current brake power

supply

bpbobnbmbl

bsbrbq

unwinds the coil spring then compresses it again in a

periodic sequence and thereby initiates the oscillation

the

copper

wheel.

The

electromagnetic

eddy

cur-

rent

brake

(11)

used

for

damping.

scale

ring

(4)

with slots and a scale in 2-mm divisions extends over

the

outside

the

oscillating

system;

indicators

are

located on the exciter and resonator.

The device can also be used in shadow projection dem-

onstrations.

Natural frequency: 0.5 Hz approx.

0 to 1.3 Hz (continuously adjust-Exciter frequency:

able)

Terminals:

Motor: max. 24 V DC, 0.7 A,

via 4-mm safety sockets

Eddy current brake:

0 to 20 V DC, max. 2 A,

via 4-mm safety sockets

Scale ring: 300 mm Ø

400 mm x 140Dimensions: mm x 270 mm

4 kgGround:

2.1 Scope of supply

1 Torsional pendulum

2 Additional 10 g weights

2 Additional 20 g weights

3. Theoretical Fundamentals

3.1 Symbols used in the equations

Angular directional variableD =

Mass moment of inertia=J

Restoring torque=M

Period=T

T0Period of an undamped system=

TdPeriod of the damped system=



Amplitude of the exciter moment=

Damping torque=b

Frequency=n

Time=t

ΛLogarithmic decrement=

δDamping constant=

Angle of deflection=



Amplitude at time t = 0 s=



Amplitude after n periods=



Exciter amplitude=



System amplitude=

ω0Natural frequency of the oscillating system=

ωdNatural frequency of the damped system=

ωEExciter angular frequency=

ωEres Exciter angular frequency for max. amplitude=

Ψ0S System zero phase angle=

3.2 Harmonic rotary oscillation

A harmonic oscillation is produced when the restoring

torque is proportional to the deflection. In the case of

harmonic rotary oscillations the restoring torque is

proportional to the deflection angle ϕ:

M = D ·

The coefficient of proportionality D (angular direction

variable) can be computed by measuring the deflec-

tion angle and the deflection moment.

If the period duration T is measured, the natural reso-

nant frequency of the system ω0is given by

0= 2

and the mass moment of inertia J is given by

2=D

3.3 Free damped rotary oscillations

An oscillating system that suffers energy loss due to

friction, without the loss of energy being compensated

for by any additional external source, experiences a

constant drop in amplitude, i.e. the oscillation is

damped.

At the same time the damping torque b is proportional

to the deflectional angle

The following motion equation is obtained for the

torque at equilibrium

JbD⋅+⋅+⋅=

ϕϕϕ

.. .0

b = 0 for undamped oscillation.

If the oscillation begins with maximum amplitude



at t = 0 s the resulting solution to the differential equa-

tion for light damping (δ² < ω0²) (oscillation) is as fol-

lows



· e–δ·t · cos (

d· t)

δ= b/2 J is the damping constant and

ωωδ

=−

the natural frequency of the damped system.

Under heavy damping (δ² > ω0²) the system does not

oscillate but moves directly into a state of rest or equi-

librium (non-oscillating case).

The period duration Tdof the lightly damped oscillat-

ing system varies only slightly from T0of the undamped

oscillating system if the damping is not excessive.

By inserting t= n· Tdinto the equation



· e–δ·t · cos (

d· t)

and



for the amplitude after n periods we ob-

tain the following with the relationship

d= 2

/Td



=⋅

−⋅

and thus from this the logarithmic decrement Λ:

=⋅ =⋅











=











δϕ

TnInIn

n+1



By inserting

/Td,

0= 2

/T0and

d= 2

/Td

into the equation

ωωδ

=−

we obtain:

=⋅+14

whereby the period Tdcan be calculated precisely pro-

vided that T0is known.

3.4 Forced oscillations

In the case of forced oscillations a rotating motion with

sinusoidally varying torque is externally applied to the

system. This exciter torque can be incorporated into

the motion equation as follows:

JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅

()

ϕϕϕ ω

.. .sin



After a transient or settling period the torsion pendu-

lum oscillates in a steady state with the same angular

frequency as the exciter, at the same time ωEcan still

be phase displaced with respect to ω0. Ψ0S is the sys-

tem’s zero-phase angle, the phase displacement be-

tween the oscillating system and the exciter.



· sin (

E· t–

0S)

The following holds true for the system amplitude



ωω δω



−

()

+⋅

The following holds true for the ratio of system ampli-

tude to the exciter amplitude

ϕω



−





















+







⋅









In the case of undamped oscillations, theoretically

speaking the amplitude for resonance (ωEequal to ω0)

increases infinitely and can lead to “catastrophic reso-

nance”.

In the case of damped oscillations with light damping

the system amplitude reaches a maximum where the

exciter’s angular frequency ωE res is lower than the sys-

tem’s natural frequency. This frequency is given by

ωω δ

Eres 0

=⋅−12

Stronger damping does not result in excessive ampli-

tude.

For the system’s zero phase angle Ψ0S the following is

true:

=−













arctan 2

δω

ωω

For ωE= ω0(resonance case) the system’s zero-phase

angle is Ψ0S = 90°. This is also true for δ= 0 and the

oscillation passes its limit at this value.

In the case of damped oscillations (δ> 0) where

ωE< ω0, we find that 0° ≤Ψ0S ≤90° and when ωE> ω0

it is found that 90° ≤Ψ0S ≤180°.

In the case of undamped oscillations (δ= 0), Ψ0S = 0°

for ωE< ω0and Ψ0S = 180° for ωE> ω0.

4. Operation

4.1 Free damped rotary oscillations

•Connect the eddy current brake to the variable volt-

age output of the DC power supply for torsion pen-

dulum.

•Connect the ammeter into the circuit.

•Determine the damping constant as a function of

the current.

4.2 Forced oscillations

•Connect the fixed voltage output of the DC power

supply for the torsion pendulum to the sockets (16)

of the exciter motor.

•Connect the voltmeter to the sockets (15) of the

exciter motor.

•Determine the oscillation amplitude as a function

of the exciter frequency and of the supply voltage.

•If needed connect the eddy current brake to the

variable voltage output of the DC power supply for

the torsion pendulum.

4.3 Chaotic oscillations

•To generate chaotic oscillations there are 4 supple-

mentary weights at your disposal which alter the

torsion pendulum’s linear restoring torque.

•To do this screw the supplementary weight to the

body of the pendulum (5).

5. Example experiments

5.1 Free damped rotary oscillations

•To determine the logarithmic decrement Λ, the

amplitudes are measured and averaged out over

several runs. To do this the left and right deflec-

tions of the torsional pendulum are read off the

scale in two sequences of measurements.

•The starting point of the pendulum body is located

at +15 or –15 on the scale. Take the readings for

five deflections.

•From the ratio of the amplitudes we obtain Λus-

ing the following equation

=













n+1



–



0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15

1 –14.8 –14.8 –14.8 –14.8 14.8 14.8 14.8 14.8

2 –14.4 –14.6 –14.4 –14.6 14.4 14.4 14.6 14.4

3 –14.2 –14.4 –14.0 –14.2 14.0 14.2 14.2 14.0

4 –13.8 –14.0 –13.6 –14.0 13.8 13.8 14.0 13.8

5 –13.6 –13.8 –13.4 –13.6 13.4 13.4 13.6 13.6

nØ



– Ø



–

0 –15 15

1 –14.8 14.8 0.013 0.013

2 –14.5 14.5 0.02 0.02

3 –14.2 14.1 0.021 0.028

4 –13.8 13.8 0.028 0.022

5 –13.6 13.5 0.015 0.022

•The average value for Λcomes to Λ= 0.0202.

•For the pendulum oscillation period T the follow-

ing is true: t = n · T. To measure this, record the

time for 10 oscillations using a stop watch and cal-

culate T.

T= 1.9 s

•From these values the damping constant δcan be

determined from δ= Λ/ T.

= 0.0106 s–1

•For the natural frequency ωthe following holds

true

ωπδ

=







−

= 3.307 Hz

5.2 Free damped rotary oscillations

•To determine the damping constant δas a func-

tion of the current Ιflowing through the electro-

magnets the same experiment is conducted with

an eddy current brake connected at currents of

Ι= 0.2 A, 0.4 A and 0.6 A.

ΙΙ

Ι= 0.2 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –13.6 –13.8 –13.8 –13.6 –13.7 0.0906

2 –12.6 –12.8 –12.6 –12.4 –12.6 0.13

3 –11.4 –11.8 –11.6 –11.4 –11.5 0.0913

4 –10.4 –10.6 –10.4 –10.4 –10.5 0.0909

5 9.2 –9.6 –9.6 –9.6 –9.5 0.1

•For T = 1.9 s and the average value of Λ= 0.1006

we obtain the damping constant: δ= 0.053 s–1

ΙΙ

Ι= 0.4 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –11.8 –11.8 –11.6 –11.6 –11.7 0.248

2 –9.2 –9.0 –9.0 –9.2 –9.1 0.25

3 –7.2 –7.2 –7.0 –7.0 –7.1 0.248

4 –5.8 –5.6 –5.4 –5.2 –5.5 0.25

5 –4.2 –4.2 –4.0 –4.0 –4.1 0.29

•For T = 1.9 s and an average value of Λ= 0.257 we

obtain the damping constant: δ= 0.135 s–1

ΙΙ

Ι= 0.6 A



– Ø



– Λ –

0 –15 –15 –15 –15 –15

1 –9.2 –9.4 –9.2 –9.2 –9.3 0.478

2 –5.4 –5.2 –5.6 –5.8 –5.5 0.525

3 –3.2 –3.2 –3.2 –3.4 –3.3 0.51

4 –1.6 –1.8 –1.8 –1.8 –1.8 0.606

5 –0.8 –0.8 –0.8 –0.8 –0.8 0.81

•For T = 1.9 s and an average value of Λ= 0.5858

we obtain the damping constant: δ= 0.308 s–1

5.3 Forced rotary oscillation

•Take a reading of the maximum deflection of the

pendulum body to determine the oscillation am-

plitude as a function of the exciter frequency or

the supply voltage.

T = 1.9 s

Motor voltage V



3 0.8

4 1.1

5 1.2

6 1.6

7 3.3

7.6 20.0

8 16.8

9 1.6

10 1.1

•After measuring the period T the natural frequency

of the system ω0can be obtained from

0= 2 π/T = 3.3069 Hz

•The most extreme deflection arises at a motor volt-

age of 7.6 V, i.e. the resonance case occurs.

•Then the same experiment is performed with an

eddy current brake connected at currents of

Ι= 0.2 A, 0.4 A and 0.6 A.

ΙΙ

Ι= 0.2 A

Motor voltage V



3.0 0.9

4.0 1.1

5.0 1.2

6.0 1.7

7.0 2.9

7.6 15.2

8.0 4.3

9.0 1.8

10.0 1.1

ΙΙ

Ι= 0.4 A

Motor voltage V



3.0 0.9

4.0 1.1

5.0 1.3

6.0 1.8

7.0 3.6

7.6 7.4

8.0 3.6

9.0 1.6

10.0 1.0

ΙΙ

Ι= 0.6 A

Motor voltage V



3.0 0.9

4.0 1.1

5.0 1.2

6.0 1.6

7.0 2.8

7.6.0 3.6

8.0 2.6

9.0 1.3

10.0 1.0

•From these measurements the resonance curves can

be plotted in a graph depicting the amplitudes

against the motor voltage.

•The resonant frequency can be determined by find-

ing the half-width value from the graph.

Resonance curves

[skt]

012 345678910

I=0,0A

I=0,2A

I=0,4A

I=0,6A

u[v]

3B Scientific GmbH • Rudorffweg 8 • 21031 Hamburg • Germany • www.3bscientific.com • Technical amendments may occur

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